Bilanzgleichungen
Aus CFD-Wiki
[Bearbeiten] Einleitung
Um Transportprozesse mathematisch modellieren zu können, benötigt man Bilanzgleichungen. Grundlage dieser ist der Grundsatz, dass die Summe aller Ströme der Bilanzgröße durch die Begrenzungsflächen eines Volumenelements sowie der Volumenquellen gleich der Speicherung der Bilanzgröße in ebendiesem Volumenelement sein muß. Wichtig ist es, dabei das Vorzeichen auf die jeweilige Flächennormale zu beziehen.
Für ein würfelförmiges Bilanzvolumen in kartesischen Koordinaten werden beispielsweise die konvektiven Flüsse (
) und die molekularen Flüsse 
der Bilanzgröße 
betrachtet. Eine solche integrale Bilanz über ein Volumenelement wird dann in eine differenzielle Bilanz überführt, indem die Größe des Volumens gegen null verringert wird:
Hier ist 
eine allgemeine Transportgröße, 
der Geschwindigkeitsvektor und 
der molekulare Flussvektor der Größe .
Der erste Term stellt den Speicherterm dar. Dieser beschreibt die lokale zeitliche Änderung einer Transportgröße. Unter Umständen kann hier in Form einer Speicherkapazität ein Vorfaktor vorkommen, dies ist beispielsweise bei der Wärmekapazität für die Energiebilanz der Fall.
Der zweite Term ist der konvektive Transportterm und beschreibt den Transport der Bilanzgröße auf Grund einer vorhandenen Relativgeschwindigkeit zwischen dem betrachteten Volumenelement und dem externen Bezugssystem.
Im dritten Term der Gleichung wird der molekulare Transport beschrieben, beispielsweise viskose Reibung, Diffusion oder Wärmeleitung.
Der letzte Term stellt einen Quellterm dar. Diese werden auf das Volumen bezogen. Häufig hängen Quellterme von einer oder mehreren Bilanzgrößen sowie von Raum und Zeit ab und stellen daher eine nichtlineare Kopplung zwischen einzelnen Bilanzgleichungen dar. Ein Beispiel dafür sind chemische Reaktionen: abhängig von verschiedenen Größen wie Temperatur, Druck und Konzentration ergeben sich Quellterme für Wärme, Species etc.
Um Bilanzgleichungen lösen zu können, sind Start- und Randbedingungen notwendig.
[Bearbeiten] Arten von Bilanzgleichungen
Wichtige Bilanzgleichungen sind:
- Kontinuitätsgleichung
- Impulsbilanz
- Navier-Stokes-Gleichung (ein Spezialfall der Kontinuitäts- und Impulsbilanzgleichung)
- Energiebilanz
[Bearbeiten] Quellenangaben
Paschedag, Anja R.: "CFD in der Verfahrenstechnik". 2004 WILEY-VCH Verlag, Weinheim. ISBN 3-527-30994-2.
