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Navier-Stokes-Gleichungen

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Die Navier-Stokes-Gleichungen sind die Hauptgleichungen für ein reibungsbehaftetes, wärmeleitendes Fluid. Den Kern der Gleichungen stellt der Impulserhaltungssatz dar, der jedoch um Massenerhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung) und Energieerhaltungssatz erweitert wird. Die Navier-Stokes-Gleichungen stellen somit ein System nichtlinearer, gekoppelter, partieller Differentialgleichungen dar. Dabei werden die Impulsgleichungen (aus dem Impulserhaltungssatz) als Bestimmungsgleichungen für die Geschwindigkeitskomponenten genutzt. Die Kontinuitätsgleichung als solche hat keine "eigene", ihr zugeordnete Variable, sie kann lediglich bei kompressiblen Strömungen für die Bestimmung der Dichte herangezogen werden. Im Gegensatz dazu hat der Druck keine ihm zugeordnete Gleichung, da er zwar alle Impulsgleichungen beeinflußt, aber aus keiner von ihnen direkt berechnet werden kann. Daher ist es für die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen notwendig, diese mittels eines speziellen Algorithmus' so zu koppeln, dass die Geschwindigkeitskomponenten und Druck bestimmt werden können.

GleichungenBearbeiten

Kontiuitätsgleichung:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho\vec{v}\right) = 0\,\!
(1)

beziehungsweise unter der Annahme eines inkompressiblen Fluids (\rho = const)

\nabla \vec{v} = 0
(2)

Die vektorielle Impulsbilanz kann geschrieben werden als:

\rho\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\rho\vec{v}\nabla\vec{v} + \eta \nabla^2\vec{v}-\nabla p + \rho\vec{g}
(3)

Numerische LösungenBearbeiten

Es stehen verschiedene Kopplungsalgorithmen zur Verfügung.

SonstigesBearbeiten

Die Druck-Geschwindigkeits-Kopplung wird ebenda beschrieben.

QuellenangabenBearbeiten


[Das Problem mit Navier Stokes]

Wikipedia Artikel zu Navier Stokes

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